Bestimmung von Ereigniszeitpunkten

Simulink versucht in jedem Integrationsschritt solche Ereignisse zu erkennen. Die dazu benutzte Technik wird zero crossing detection (ZCD) genannt. Man kann diese Eigenschaft im Fenster Simulation -> Parameters -> Diagnostics ein- und ausschalten, was sich natürlich auf die Genauigkeit der Ergebnisse erheblich auswirken kann.

Beispiel 1:

Das Problem, die Zeitpunkte von Nullstellen der Zustandsvariablen zu bestimmen, hat nichts mit der numerischen Integration des vorgegebenen dynamischen Systems zu tun, ist aber in die Integratoren mit variabler Schrittweite eingebaut. Wenn diese in einem Integrationsschritt einen Vorzeichenwechsel erkennen, wird die Nullstelle genauer bestimmt, sofern entsprechende Blöcke vorhanden sind, die dies anfordern und ZCD eingeschaltet ist. Diese Integratoren ersetzen dabei auch den betreffenden Integrationsschritt durch einige kürzere Integrationsschritte, vermeiden jedoch die Nullstelle als Integrationsstützpunkt. Es gibt also eine Verzahnung zwischen den Integratoren mit variabler Schrittweite und ZCD. Die Integratoren mit fester Schrittweite kennen keine ZCD, obwohl man die betreffenden Optionen im Parameterfenster auch hier an- bzw. ausklicken kann.

Das Schrittweitendiagramm zeigt, daß daß die Schrittweite zum Zeitpunkt T deutlich einbricht.

Beispiel 2:

Zur Ermittlung der Nullstelle von y(t-1)-0.5 benutzt Simulink gespeicherte zurückliegende Werte. Es ist klar, daß die Nullstelle um so besser bestimmt werden kann, je besser diese Werte die Bestimmung der Nullstelle von y(t)-0.5 zulassen. Zur genauen Bestimmung dieser Nullstelle sind im obigen Modell aber keinerlei Vorkehrungen getroffen worden. Die ZCD im Sign-Block leidet daher unter schlechten Daten für ihre Aufgabe.

Im nachfolgenden Modell wird mit Hilfe eines Hit Crossing-Blockes die Nullstelle von y(t)-0.5 genau bestimmt, was dazu führt, daß auch die Nullstelle von y(t-1)-0.5 genauer bestimmt werden kann. Als Parameter des HC-Blockes werden 'hit crossing offset'=0.5 und 'hit crossing direction'='either' vorgegeben und bestimmt allgemein Nullstellen der Funktion 'Eingangssignal - hit crossing offset'. Anders als andere Blöcke die mit ZCD arbeiten, wird die Nullstellenbestimmung beim HC-Block auch dann durchgeführt, wenn ZCD global ausgeschaltet wurde.
Der Block wird ohne Ausgabeport verwendet, dient also nur dazu ZCD für y(t)-0.5 einzuschalten. Die Nullstelle von y(t-1)-0.5 kann mit diesem Modell bis auf einen Fehler von -6.2042e-10 bestimmt werden.

1. ohne ZCD
2. mit ZCD aber ohne Hit Crossing Block zur Kontrolle der Nullstelle von y(t)-0.5
3. mit ZCD und mit Hit Crossing Block

Man erkennt daß:

• der Fehler ohne ZCD zwar mit fallender Fehlertoleranz für die Integration kleiner wird, jedoch nie diese Genauigkeit erreicht.
• der Fehler mit ZCD im Sign-Block alleine sich nur bei schwachen Toleranzvorgaben auswirkt
• der wesentliche Gewinn bei der Genauigkeit der Nullstellenbestimmung durch ZCD für die Nullstelle y(t)-0.5 erreicht wird.

Beispiel 3:

Wenn wir bei den Simulationsparametern 'Zero crossing detection' abschalten, sonst aber alle Parameterwerte beibehalten, liefert das Modell als Abbruchzeit T=3.68 anstelle von T=3.6211169879495. Dieser Wert ändert sich natürlich, wenn wir andere Vorgaben für die Fehlertoleranz machen. Mit rel.tol.=1.0e-6 und abs.tol=1.0e-9 erhalten wir mit zero crossing detection den unveränderten Wert von T, ohne diese Eigenschaft jedoch: T=3.63365...

Wir haben jetzt den Zeitpunkt T bestimmt, zu dem sich die Parameterwerte ändern. Die Frage ist nun, wie wir die Simulation mit den geänderten Parameterwerten fortsetzen können.

Der Integrator-Block verfügt über einen Reset Port, mit dessen Hilfe man seine Zustandsvariablen, abhängig vom Wert eines externen Signales, auf seine Anfangswerte zu&ruuml;cksetzen können. Um diesen Port zu benutzen, müssen wir wir als Wert des Block-Parameters External reset einen von 'none' verschiedenen Wert vorgeben. Wir haben im folgenden Modell den Wert falling vorgegeben und das Signal s(t) zum triggern. Das heißt genauer: s(t) setzt die Zustandsvarible des Intergatorblockes Int. v(t) auf ihren Anfangswert, wenn s(t) eine Nullstelle vom Positiven aus erreicht.

In diesem Modell sind keine Blöcke enthalten, die eine genaue Bestimmung der Nullstellen der Lösung erzwingen würden. Es wird lediglich festgestellt, ob die Lösungen vom Positiven ins Negative geraten sind. Ist das der Fall, so wird eine neue Phase zum aktuellen Zeitpunkt gestartet, es wird aber nicht versucht, den Zeitpunkt des Nulldurchganges genauer zu bestimmen. Falls die Lösungswerte geringfügig ins Negative geraten, fällt dies insofern nicht auf, da die Anfangssteigung der neuen Phase wieder auf 15 (interner Parameterwert) gesetzt wird, was dafür sorgt, dass die Lösungswerte schnell wieder positiv werden.

Tatsächlich benötigen wir für unser Problem eine variable Vorgabe der Anfangswerte für die jeweiligen Simulationsphasen, wobei diese mit der Zeit immer kleiner werden.

Dazu setzen wir zunächst den Wert Initial condition source des Integrator-Blockes Int. v(t) von internal auf external, der Integrator-Block erhält dadurch einen dritten Eingang, über den wir die Anfangswerte der einzelnen Simulationsphasen vorgeben können. Wenn wir dort konstant den Wert 15 vorgeben, erhalten wir dieselben Ergebnisse wie bisher. Im folgenden Modell geben wir als Anfangswerte der einzelnen Phasen den Wert 10*exp(T) vor, wobei T der Zeitpunkt ist, zu dem die Phase beginnt.

Modell mit mehreren Phasen, variablen Anfangswerten und grober Bestimmung der Phasenenden

Mit der Vorgabe 'Max step size=001' anstelle der Vorgabe 'Max step size=auto' (bei 'rel.tol=1.0e-3, abs.tol=1.0e-6) schieben wir dieses Problem um viele Phasen bis nach 5.4 hinaus.

• der Ausgabewert kann nicht ins Negative geraten
• zero crossing detection wird eingeschaltet

• die Ergebnisse sind unbrauchbar,
• es enthät eine algebraische Schleife,
• es berücksichtigt nicht den speziellen Anfangswert für die erste Phase

Die beiden anderen Punkte sind aufwendiger zu umgehen, wobei wir annehmen, daß beide zusammenhängen. Das Problem der algebraischen Schleife bei der Vorgabe von Anfangswerten ist jedoch so häufig, daß Simulink einen Ausweg dazu eingebaut hat und in der Warnung zur algebraischen Schleife auch darauf hinweist.

Der Integrator-Block verfügt über einen Ausgang state port, den man zur Verfügung hat, sobald man im Parameterfenster 'Show state port' anklickt. Dieser Ausgang liefert zwar dasselbe Signal wie der normale Ausgang, vermeidet aber blockintern eine algebraische Schleife. Wir erhalten damit das nachfolgende Modell, das eine Lösung unseres Problems bis T=20 erlaubt.

• mit variabler Schrittweite aber ohne zero crossing detection
• mit fester Schrittweite

Beispiel 3:

• die Gravitation betrage 10 m/sec^2,
• die Anfangsgeschwindigkeit betrage v(0)=10 m/sec
• die Anfangshöhe betrage s(0)=0 m

Man kann sich leicht überlegen, daß unter diesen Bedingungen die Länge der k. Sprungphase den Wert 2*(0.8)^(k-1) hat, die Endzeitpunkte also bei 2.0, 3.6, 4.24, .... liegen und zur Zeit 10 einen Häufungspunkt haben.

Wie gehen die einzelnen Integratoren mit dieser Situation um und welche Hinweise geben sie dem Anwender?

Dormand-Prince ode45 mit ZCD
Simuliert wurde von 0 bis 15, wobei die Simulation aber nach maximal 5000 Integrationschritten abgebrochen wurde. Als relative bzw. absolute Toleranzen wurden 1.0e-8 bzw. 1.0e-16 vorgegeben. ZCD wurde sowohl bei v(t) als auch bei s(t) verlangt.

      Abbruchszeit T:  10 + 1.009e-9
   angezeigte Phasen:  790

Dormand-Prince ode45 mit ZCD und Default-Parameterwerten

      Abbruchszeit T:  10 + 1.014e-9
   angezeigte Phasen:  793

Steifer Integrator ode15s mit ZCD
Simuliert wurde von 0 bis 15, wobei die Simulation aber nach maximal 5000 Integrationschritten abgebrochen wurde. Als relative bzw. absolute Toleranzen wurden 1.0e-8 bzw. 1.0e-16 vorgegeben. ZCD wurde sowohl bei v(t) als auch bei s(t) verlangt.

      Abbruchszeit T:  10 - 1.393e-6
   angezeigte Phasen:  850

Dormand-Prince ode45 ohne ZCD
Simuliert wurde von 0 bis 15, wobei die Simulation aber nach maximal 5000 Integrationschritten abgebrochen wurde. Als relative bzw. absolute Toleranzen wurden 1.0e-8 bzw. 1.0e-16 vorgegeben. Der Integrator gibt eine Warnung aus, daß die geforderte Genauigkeit nicht garantiert werden kann und daß möglicherweise eine Unstetigkeit vorliegt.

      Abbruchszeit T:  10 + 9.655e-5
   angezeigte Phasen:  558

Dormand-Prince ode45 ohne ZCD und Default-Parameterwerten
Simuliert wurde von 0 bis 15, wobei die Simulation aber nach maximal 5000 Integrationschritten abgebrochen wurde.

      Abbruchszeit T:  15
   angezeigte Phasen:  8

Phasenlängen:

Amplitudenquotient aufeinanderfolgender Phasen:

Steifer Integrator ode15s ohne ZCD

      Abbruchszeit T:  1.9999999
   angezeigte Phasen:  1

Steifer Integrator ode15s mit Default-Parameterwerten, ohne ZCD

      Abbruchszeit T:  15
   angezeigte Phasen:  754

Integrationsschritte:

Dormand-Prince ode5

      Abbruchszeit T:  15
   angezeigte Phasen:  8

Blöcke, die mit ZCD arbeiten

Icon	Name	Was wird festgestellt?
	Abs	Zeitpunkt zu dem das Eingangssignal das Vorzeichen wechselt
	Backlash	Zeitpunkt zu dem das Eingangssignal die obere bzw. untere Schranke erreicht
	Deadzone	Zeitpunkt zu dem Anfang bzw. Ende der deadzone (Null-Zone) erreicht wird
	Hit crossing	Eingangssignal passiert den offset Wert des Blockes, d.h. Nullstelle von 'Eingangssignal - offset'. Die genaue Bestimmung dieser Stelle wird auch bei abgeschalteter ZCD durchgeführt.
	Integrator	Der Integrator-Block arbeitet normalerweise ohne Nullstellenbestimmung. Diese wird erst durch die Vorgabe von oberen bzw. unteren Schranken für das Ausgabgssignal oder durch das Vorhandensein eines Reset ports im Block aktiviert. Bestimmt werden dann die Zeitpunkte, zu denen die Schranken über- oder unterschritten werden bzw. zu denen ein Reset erfolgen muss.
	MinMax	Zeitpunkt zu dem bei einer der Komponenten des Ausgangssignales ein neues Minimum oder Maximum vorliegt. Ausgegeben wird immer das bisher aufgetretene Minimum bzw. Maximum der betreffenden Komponente des Eingangssignales.
	Relay	Zeitpunkte zu dem die Switch on bzw. Switch off Punkte erreicht werden.
	Relational Operator	Bestimmt werden die Zeitpunkte, an denen der Wert des Ausgangssignales seinen Wert wechseln muss.
	Saturation	Zeitpunkte zu denen die obere oder untere Schranke erreicht wird.
	Sign	Bestimmt werden die Nullstellen des Eingangssignales.
	Step	Step time, also den Zeitpunkt, ab dem das Ausgangssignal den Endwert annimmt.
	Subsystem	Subsystem-Blöcke arbeiten nur dann mit Nullstellenbestimmung, wenn sie mit einem Enable- oder Trigger-Port versehen sind. Bestimmt werden dann die Zeitpunkte, zu denen das Subsystem aktiv wird.
	Switch	Zeitpunkt zu dem das Kontrollsignal den Schaltwert (treshold) erreicht. Dies ist eine Nullstelle von 'Kontrollwert-Schaltwert'.