Übungsblatt 14
Aufgabe 1:
Modellieren Sie das System:
eps*y1' = -1.0*y1 +0.5*y2
y2' = +0.2*y1 -1.0*y2
mit den Werten eps=1, 1/5, 1/25, 1/125 und 0 und simulieren Sie dann
das Anfangswertproblem y1(0) = y2(0) = 1 von
0 bis 10.
Für die Fälle eps ungleich 0 können Sie jeweils das
System y' = K*M*y behandeln mit den Matrizen:
M = [-1.0, 0.5; 0.2, -1.0];
K = [µ, 0; 0, 1]
und µ = 1/eps. Die Multiplikation mit K lässt sich sehr
unterschiedlich realisieren, es muss nicht unbedingt ein Matrix Gain
Block sein.
Das Modell für den Fall eps = 0 können Sie natürlich
so modellieren, dass Sie sich im Kopf ausrechnen, dass in diesem
Falle gelten muss:
y1 = 0.5*y2
und dieses Ergebnis in die zweite Gleichung einsetzen. Sie würden
dann nur mit einer Differentialgleichung arbeiten.
Verwenden Sie bitte auch hier, wie in den Fällen eps ungleich 0,
einen Integrator mit zweidimensionalem Ein- und Ausgangssignal.
Terminieren Sie das Ausgabesignal y(1) einfach und berechnen Sie aus
dem Ausgabesignal y(2) einen neuen Wert y(1) derart, dass y(1)=0.5*y(2)
erfüllt ist. Auch wenn Sie diesen Wert im Kopf ausrechnen
könnten, sollen Sie ihn hier in einer Schleife mit einem 'Fcn'
und einem 'Algebraic Constraint Block' berechnen.
Aufgabe 2:
- Erzeugen Sie eien graphische Darstellung aller Lösungspfade
(y1(t),y2(t)) in einem Bild. Im Falle eps=0 soll der
'korrigierte' y1-Wert verwendet werden, der Lösungspfad
muss also Teil der Geraden y1 = 0.5*y2 sein. Geben
Sie den Lösungspfad zum Problem eps=0 in rot, die Lösungspfade
zu den anderen Fällen in blau aus.
- Erzeugen Sie eine graphische Darstellung aller Lösungskomponenten
y1(t) in Verlaufe der Zeit t in einem Bild. Geben Sie die
Lösungkomponente im Falle eps=0 wieder in rot aus.
- Erzeugen Sie eine graphische Darstellung aller Lösungskomponenten
y2(t) in Verlaufe der Zeit t in einem Bild. Geben Sie die
Lösungkomponente im Falle eps=0 wieder in rot aus.
Aufgabe 3:
Berechnen Sie in den Fällen eps ungleich 0 mit Hilfe der Eigenwerte
von K*M den Steifigkeitskoeffizienten des Problems. Berechnen Sie den entsprechenden
Wert auch für die Matrix L*M, wobei L durch:
L = [1,0;0,eps];
gegeben ist. Prüfen Sie nach, ob die Steifigkeitskoeffizienten
für K*M(eps) und L*M(eps) jeweils gleich sind.
Sie können den Steifigkeitskoeffizienten auch im Falle eps=0 wie oben
berechnen, wenn Sie:
- K durch [1/0 0; 0 1]
- L durch [ 1 0; 0 0 ]
vorgeben und den Koeffizienten durch abs(Eigenwert(1)/Eigenwert(2)) berechnen.
Der Absolutbetrag hat hier nur die Aufgabe, ein passenden Vorzeichen für
die Null zu erzwingen.
Aufgabe 4:
Wandeln Sie Ihr Modell mit dem springenden Ball so ab, dass
eine Anfangsgeschwindigkeit in x-Richtung der Größe 1.0
berücksichtigt wird, die sich bei jedem Aufsprung des Balles
um den Faktor 0.9 reduziert, während einer Sprungphase aber
konstant bleibt. Zeigen Sie die Position des Balles jeweils in einem
Animationsfenster an.
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