§1. Gleichungen in SIMULINK

Zusammenfassung: An einfachen linearen und nichtlinearen Gleichungssystemen soll der Umgang mit der SIMULINK-Bibliothek und der Aufbau von SIMULINK-Modellen erlernt werden. Eine Tabelle für Maus und Tastatur Aktionen schließt den Text ab.

§1.1 Einführung

Ein mathematisches Modell für eine Regelung oder Steuerung entsteht im Normalfall dadurch, daß mittels physikalischer Gesetze Gleichungen aufgestellt werden, welche den Zusammenhang zwischen den Veränderlichen Größen herstellen. Es entsteht ein Gleichungssystem.

Für die Ingenieurarbeit kann es zweckmäßig sein diese Zusammenhänge durch

Strukturbilder, Signalflußpläne oder Wirkpläne

anschaulich darzustellen. SIMULINK unterstützt diese Arbeitsweise und liefert gleichzeitig Möglichkeiten zur Untersuchung der Modelle (z.B. Zeitsimulation, Linearisierung, Parameteranpassung u.v.m.).

Beispiel

Das elektrische Netzwerk

führt zunächst einmal auf die Strombilanz

        I1 - I2  =  0.

        f(phi1 - phiC)  - C*(phiC-phi0 = 0,        phi0 = 0.

Für einen linearen Widerstand mit dem Leitwert G, ergibt sich

        G*(phi1-phiC)  - C*(phiC)' = 0       

        (C/G)*(phiC)' + phiC = phi1.

kann aber nun auch zweckmäßig für verschiedene Untersuchungen sehr unter-schiedlich dargestellt werden. SIMULINK nimmt Rücksicht und unterstützt diese unterschiedlichen Darstellungsmöglichkeiten:

1. Ein Aufbau mit einem Summier-, Proportional- und Integrier-Glied führt z.B. zu



2. Ein zugehöriges Strukturbild (PT1-Glied) wäre



3. Liegt ein nichtlinearer Widerstand vor, dann könnten die Zusammenhänge mit der entsprechenden nichtlinearen Kennlinie f (z.B. für eine ideale Diode mit f(u) = a*(exp(b*u)-1)) durch



ausgedrückt werden.

§1.2 SIMULINK

SIMULINK ist ein Unterprogramm von MATLAB

und wird durch Linksklick des (Programm-) Symbols

in der Symbolleiste des MATLAB-Kommando Fensters erreicht. SIMULINK stellt dann ein Modellfenster (untitled1) und eine Bibliothek (Library) zur Verfügung.

Ein Linksklick auf die Bibliothekselemente (Sources, Sinks,... ) liefert ein Fenster mit Blöcken die durch "Drag-and-Drop" in das Modellfenster überführt werden können. Mit dem Menü "Fomat" des Modellfensters lassen sich die einzelnen Blöcke noch behandeln: z.B. drehen, färben, vergrößern und vieles mehr. Im Paragraph 1.4 sind weitere Kommandos aufgeführt. Insbesondere auch solche mit denen die Blöcke verbunden werden können.

Eine sicherlich nicht immer so gültige Fallanalyse [1] zeigt, daß neben der Anschaulichkeit auch noch erhebliche Arbeitseinsparungen gegenüber konventionellen Programmiermethoden möglich sind.

Für den Fall

x'' + (k/m)*x = 0

mit dem SIMULINK-Modell

ergibt sich der folgende Vergleich

Wie schnell mit SIMULINK-Modellen Simulationsergebnisse erzielt werden können, zeigt z.B. die Differentialgleichung

        u' = u - u3  - v + C                    u(0) = 0
        v' = Epsilon*[Alpha*(u - A)3 - v]       v(0) = 0

        Epsilon = 0.01,  Alpha = 5,    A = -0.5

Dieses System führt auf das SIMULINK- Modell

C = 5.856	C = 5.85

Nun handelt es sich hier um ein sehr empfindliches Problem. Mit den Analysis Tools (§11) von SIMULINK kann dennoch später ohne Schwierigkeiten gezeigt werden, daß sowohl asymptotisch stabile als auch eine Hopf-Verzweigung (periodische Lösung) wirklich vorliegen. Die Näherungslösungen wurden mit dem ODE113(Adams)(!) Verfahren und einem Pentium II Rechner erzielt.

§1.3 Lineare und nichtlineare Gleichungssysteme in SIMULINK

Das primäre Ziel von SIMULINK ist sicherlich nicht die Behandlung von linearen und nichtlinearen Gleichungssystemen. Dennoch kann an Ihnen die Benutzung der SIMULINK-Bibliothek und der Aufbau von SIMULINK-Modellen vortrefflich geübt werden.

Beispiel [2]

Betrachte das lineare Gleichungssystem

        a11*y1 + a12*y2 + a13*y3 = u1
        a21*y1 + a22*y2 + a23*y3 = u1        uii =/= 0
        a31*y1 + a32*y2 + a33*y3 = u1

Dieses Gleichungssystem kann umgeschrieben werden in die Form

        F1 :       y1 = (1/a11)*u1 - (a12/a11)*y2 - (a13/a11)*y3
        F2 :       y2 = (1/a22)*u2 - (a21/a22)*y1 - (a23/a22)*y3
        F3 :       y3 = (1/a33)*u3 - (a31/a33)*y1 - (a32/a33)*y2

Ein Grobstrukturbild für das Gleichungssystem ist dann

Als detalliertes Strukturbild ergibt sich

Mit Blöcken aus den Katalogen "Sources", "Sinks" und "Linear" kann dazu das SIMULINK-Modell (mit der Ausgabe y₁ und speziell festgelegten Koeffizienten a_ij, b_j) aufgebaut werden:

Wird die Auflösung der einzelnen Variablen als unangebracht oder vielleicht sogar als unzweckmäßig erachtet, dann kann auch mit dem Block

gearbeitet werden. Dieser Block liefert jene z die f zu Null machen (natürlich soweit vorhanden und ermittelbar).

Das Beispiel

        a11*y1 + a12*y2 - u1 =  0
        a21*y1 + a22*y2 - u2 =  0

führt für spezielle Koeffizienten zum SIMULINK-Modell

Beachten Sie dabei, daß es möglich ist (Siehe hierzu §1.4) die Untertitel der Blöcke zu ändern um diese der jeweiligen Situation anzupassen.

Selbstverständlich können auch nichtlineare Probleme behandelt werden. Als Beispiel sei das Gleichungssystem

        y2 + x2 - r = 0
        y2 - x     = 0

gegeben, das für r > 0 stets zwei Lösungen besitzt

Das Gleichungssystem führt zum Modell

Die Ermittlung der beiden Nullstellen läßt sich durch Vorgabe geeigneter Startwerte gewährleisten. Die Startwerte können über ein Kontextmenü (Doppellinksklick) des "Algebraic Constraint" Blocks eingegeben werden.

§1.4 Maus und Tastatur Aktionen in SIMULINK

Die folgenden Tabellen wurden aus [1] entnommen. Sie geben einen Auszug über die Möglichkeiten wie Blöcke, Signale und Untertitel behandelt werden können. Dabei bedeutet

LMB = Linksklick

RMB = Rechtsklick

Maus und Tastatur-Aktionen für Blöcke und Verbindungslinien

Maus und Tastatur Aktionen für Verknüpfungen und Untertitel

Literatur

Dabney, J.B., Harman, T.L. Mastering SIMULINK2. The Matlab Curriculum Series. Prentice Hall 1998. S. 1-345

Föllinger, O. Regelungstechnik. Einführung in die Methoden und Ihre Anwendung. Hüttig Verlag 1994. S. 1-632