Prime factors of generalized Fermat numbers  Fm(10)
and complete factoring status

Compiled by Wilfrid W. Keller

Factorizations in standard notation

 Primes:   F0(10) = 11,   F1(10) = 101
 F2(10) = 73 . 137
 F3(10) = 17 . 5882353
 F4(10) = 353 . 449 . 641 . 1409 . 69857
 F5(10) = 19841 . 976193 . 6187457 . 834427406578561
 F6(10) = 1265011073 . 15343168188889137818369 .
515217525265213267447869906815873
 F7(10) = 257 . 15361 . 453377 . P116
 F8(10) = 10753 . 8253953 . 9524994049 . 73171503617 . P225
 F9(10) = 1514497 . 302078977 . 3611707318387778163302401 . C473
F10(10) = 1856104284667693057 . 315827195278624446663038977 .
1567629031101501414376301131777 . C950
F11(10) = 106907803649 . 3835256936681473 . 9027276203313319937 . C2003
F12(10) = 458924033 . 728157653661622273 . 50628372428722965086209 . C4047
F13(10) = C8193
F14(10) = C16385
F15(10) = 65537 . 5767169 . C32757
F16(10) = 8257537 . C65530
F17(10) = 175636481 . C131064
F18(10) = 639631361 . C262136

The above prime factors  k.2n + 1  for  m > 7

m k n     Year     Discoverer
8 21 9 1969     H. Riesel
16121 9 1969     H. Riesel
1162719 13 1992     H. Dubner
142913093 9 1992     H. Dubner
[222 digits] 9 1992     H. Dubner
9 1479 10 1969     H. Riesel
294999 10 1992     H. Dubner
    440882241014133076575     13 2000     Y. Koide
10 906300920247897 11 1994     A. Björn & H. Riesel
    154212497694640843097187 11 2004     N. S. Melo
    [27 digits] 11 2005     N. S. Melo
11 13050269 13 1992     H. Dubner
936342025557 12 1993     W. Keller & R. P. Brent
2203924854324541 12 1993     W. Keller & R. P. Brent
12 56021 13 1969     H. Riesel
88886432331741 13 1993     W. Keller & R. P. Brent
1545055310935149081 15 2007     A. Reich
15 1 16 1969     H. Riesel
11 19 1969     H. Riesel
16 63 17 1969     H. Riesel
17 335 19 1969     H. Riesel
18 305 21 1969     H. Riesel

27 digit  k = 765443862842529987488428287

Prime factors  k.2n + 1  of numbers  Fm(10)  for larger  m

m k n     Year     Discoverer
19 67 20 1969     H. Riesel
101439 21 1969     H. Riesel
12838857 20 1993     W. Keller
20 5 25 1969     H. Riesel
22 6061953 24 1992     W. Keller
26 17 27 1969     H. Riesel
27     363626528055 29 2008     G. Reynolds
28 308122623 29 1993     A. Björn & H. Riesel
29 49 30 1969     H. Riesel
135 31 1969     H. Riesel
30 266443839 31 1993     A. Björn & H. Riesel
35 5 39 1969     H. Riesel
37 287443 38 1992     W. Keller
39 52731 40 1992     W. Keller
16271832987 40 2002     L. N. Durman
40 21 41 1992     H. Dubner
115 42 1992     H. Dubner
41 39 42 1992     H. Dubner
43 44140169265 45 2002     L. N. Durman
46 24867885 48 1993     A. Björn & H. Riesel
48 25 52 1992     H. Dubner
50 849 51 1992     H. Dubner
54 35535 57 1992     W. Keller
3397839 57 1993     W. Keller
58 45 60 1992     H. Dubner
8264469 59 1993     A. Björn & H. Riesel
62 9 63 1992     H. Dubner
64 63 65 1992     H. Dubner
65     91605834395 67 2008     G. Reynolds
66 9 67 1992     H. Dubner
67 903094977 68 1994     A. Björn & H. Riesel
68 15533 69 1992     W. Keller
69 21573 70 1992     W. Keller
72 5 75 1969     H. Riesel
80 1155045 83 1993     W. Keller
81 13 82 1992     H. Dubner
88 14603 89 1992     W. Keller
91 4695 93 1992     H. Dubner
93 1718239 94 1993     W. Keller
99 3957 100 1992     H. Dubner
8906607 102 2002     J. Fougeron
102 43 104 1992     H. Dubner
460745 105 1993     W. Keller
104 94109914319 109 2008     G. Reynolds
115 4019946555 118 2008     G. Reynolds
116 992331967 118 2003     J. Fougeron
122 755 125 1992     H. Dubner
124 5 127 1969     H. Riesel
125 20197445135 127 2008     G. Reynolds
131 32505015315 134 2008     G. Reynolds
142 29 143 1992     H. Dubner
143 841 144 1992     H. Dubner
3125 149 1992     H. Dubner
145 436970503 148 2003     J. Fougeron
146 17 147 1992     H. Dubner
155 92273592065 157 2008     G. Reynolds
157 43 158 1992     H. Dubner
158 5913763 160 2002     J. Fougeron
168 285 171 1992     H. Dubner
178 28430019 179 2002     J. Fougeron
179 7 180 1992     H. Dubner
181 679731 183 1993     W. Keller
42741693 182 2002     J. Fougeron
182 227 183 1992     H. Dubner
183 13 188 1992     H. Dubner
185 21 187 1992     H. Dubner
190 1637 191 1992     H. Dubner
195 154865 201 1993     W. Keller
200 267 202 1992     H. Dubner
206 87 207 1992     H. Dubner
208 3 209 1992     H. Dubner
215 143277 216 1993     W. Keller
222 64619 225 1993     W. Keller
226 1707 227 1992     H. Dubner
241 83362731 243 2003     J. Fougeron
808032729 242 2008     A. Wesołowski
243 2661 244 1992     H. Dubner
259 1564791 260 1996     A. Björn & H. Riesel
260 19887 262 1992     W. Keller
270 177 271 1992     H. Dubner
284 701 291 1992     H. Dubner
285 10465513 286 2003     J. Fougeron
296 541683 297 1995     A. Björn & H. Riesel
310 219715929 311 2008     A. Wesołowski
324 1283 325 1992     H. Dubner
330 38055823 332 2003     J. Fougeron
380 23 381 1992     H. Dubner
388 101 389 1992     H. Dubner
392 409183353 393 2008     A. Wesołowski
420 144136751 423 2008     A. Wesołowski
435 4145996735 437 2009     G. Reynolds
446 2543709 449 1996     A. Björn & H. Riesel
456 8847321 457 2003     N. S. Melo & Fougeron
461 4963 462 1992     W. Keller
520 53205753 521 2008     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
550 9103 552 1993     W. Keller
551 36181 552 1994     A. Björn & H. Riesel
569 4351299 570 2003     N. S. Melo & Fougeron
587 125422827 588 2009     G. Reynolds
615 7 616 1992     H. Dubner
625 63 626 1992     H. Dubner
656 3044463 657 2003     N. S. Melo & Fougeron
686 117279 687 1994     A. Björn & H. Riesel
687 451261 688 1995     A. Björn & H. Riesel
691 445557 692 1995     A. Björn & H. Riesel
724 26085 731 1994     A. Björn & H. Riesel
560677 726 1995     A. Björn & H. Riesel
749 459 750 1992     H. Dubner
785 95685 787 1994     A. Björn & H. Riesel
813 3545135 815 2003     N. S. Melo & Fougeron
822 3671893 824 2003     N. S. Melo & Fougeron
839 8396025 841 2003     N. S. Melo & Fougeron
842 1273 844 1992     H. Dubner
892 627 894 1992     H. Dubner
939 22717 940 1994     A. Björn & H. Riesel
968 2622955 970 1996     A. Björn & H. Riesel
978 291095 981 1995     A. Björn & H. Riesel
981 123000483 982 2009     G. Reynolds
990 95 993 1992     H. Dubner
991 280499 993 1995     A. Björn & H. Riesel
1066 17169327 1067 2007     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
1104 1551 1105 1992     H. Dubner
1133 390059 1137 2001     N. S. Melo & Fougeron
1139 1055 1141 1992     H. Dubner
1147 67 1148 1992     H. Dubner
1190 299 1191 1992     H. Dubner
1223 1358641 1224 2003     N. S. Melo & Fougeron
1250 5858769 1251 2006     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
1268 5667937 1270 2006     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
1286 207 1287 1992     H. Dubner
1357 9969 1358 1996     A. Björn & H. Riesel
1370 935 1373 1992     H. Dubner
1402 539 1403 1992     H. Dubner
1452 56991 1453 1997     J. McLean
1463 55207981 1464 2009     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
1628 65 1631 1992     H. Dubner
127309793 1629 2004     M. Pacher, Jobling, Woltman & Gallot
1676 123 1677 1992     H. Dubner
1709 12508995 1711 2007     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
1765 4022199 1769 2003     N. S. Melo & Fougeron
1899 5912855 1901 2006     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
1919 89 1921 1992     H. Dubner
1944 5 1947 1969     H. Riesel
1960 23 1961 1992     H. Dubner
2050 602157 2051 2000     N. S. Melo & Fougeron
2230 6939 2231 1996     A. Björn & H. Riesel
2491 14145 2493 1996     A. Björn & H. Riesel
2526 4509 2527 1996     A. Björn & H. Riesel
2686 647 2687 1992     H. Dubner
2714 826679 2715 2003     N. S. Melo & Fougeron
2731 97 2732 1992     H. Dubner
3188 21329037 3190 2004     J. Fougeron
3204 3101 3205 1996     A. Björn & H. Riesel
3306 5 3313 1992     H. Dubner
3353 9 3354 1992     H. Dubner
(Prime: G. V. Cormack & H. C. Williams 1979)
3461 11008509 3462 2002     J. Fougeron
3473 273 3474 1992     H. Dubner
3614 155499 3615 2003     N. S. Melo & Fougeron
4122 82753 4124 1999     J. McLean & Gallot
4227 8821 4228 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: J. Young 1993)
4280 1085 4283 1995     A. Björn & H. Riesel  (Prime: H. Dubner 1993)
4290 24389 4291 2002     W. Keller & Gallot
4388 37683 4389 2002     W. Keller & Gallot
4558 295 4560 1995     A. Björn & H. Riesel  (Prime: H. Dubner 1993)
5147 25 5152 1992     H. Dubner  (Prime: W. Keller 1983)
5324 56891 5327 2002     J. McLean & Gallot
5677 967271 5679 2004     N. S. Melo & Fougeron
5735 4240905 5740 2003     J. Fougeron
6612 7 6614 1992     H. Dubner
(Prime: G. V. Cormack & H. C. Williams 1979)
6837 19 6838 1992     H. Dubner  (Prime: W. Keller 1978)
6872 120261 6873 2003     G. Axelsson, Fougeron, Woltman & Gallot
6903 95 6905 1992     H. Dubner  (Prime: W. Keller 1989)
7926 29 7927 1992     H. Dubner
(Prime: G. V. Cormack & H. C. Williams 1979)
7966 9 7967 1992     H. Dubner
(Prime: A. O. L. Atkin & N. W. Rickert 1979)
8585 14015 8587 1996     H. Dubner  (Prime: P. Demichel)
9181 2349 9182 1999     T. Nohara & Gallot
9960 113 9961 1993     H. Dubner
10669 225759 10670 2008     S. Harvey, Fougeron & Penné
11563 6345 11567 1999     A. Cano & Gallot
11779 81327 11782 2005     S. Harvey, Fougeron & Woltman
13628 2827 13630 2005     S. Harvey, Fougeron & Woltman
14996 341 14997 1998     R. Ballinger & Gallot
16526 955 16530 1998     R. Ballinger & Gallot
(Prime: C. F. Kerchner & Gallot)
19353 313 19354 1996     H. Dubner  (Prime: P. Demichel)
20023 775 20026 1996     H. Dubner  (Prime: P. Demichel)
20269 95 20271 1996     H. Dubner  (Prime: P. Demichel)
21459 14257 21462 2003     G. Axelsson, Fougeron, Woltman & Gallot
22270 8589 22271 2003     G. Axelsson, Fougeron, Woltman & Gallot
23467 5 23473 1992     H. Dubner  (Prime: W. Keller 1984)
27380 23875 27382 2003     G. Axelsson, Fougeron, Woltman & Gallot
28276 11 28277 1992     H. Dubner
28435 39 28437 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: J. Young 1995)
30639 45625 30644 2008     A. Wesołowski
32748 83 32749 1998     Y. Gallot  (Prime: P. Demichel 1997)
37914 629 37915 2001     N. S. Melo & Gallot
38005 13 38008 1992     H. Dubner
39728 2601 39729 2001     J. Fougeron
43345 14921 43347 2004     G. Axelsson, Fougeron, Woltman & Gallot
44684 3 44685 1993     H. Dubner  (Prime: J. Young)
50232 7251 50233 2002     G. Axelsson, Jobling, Woltman & Gallot
54832 25851 54833 2007     T. Nohara, Fougeron & Penné
56304 357 56306 2000     N. S. Melo & Gallot
57103 171 57104 1998     H. Dubner & Gallot
67715 215 67717 1998     D. Davis & Gallot
71625 855 71629 2000     J. A. Rouse & Gallot
85262 299 85263 2003     N. S. Melo & Fougeron
(Prime: M. Misztal & Gallot 1998)
100456 201 100459 1998     V. S. Wighman & Gallot
109598 133 109600 1999     D. Davis & Gallot
112518 5195 112521 2009     R. Keiser, Fougeron & Penné
113544 39 113549 1999     J. Renze & Gallot
114293 13 114296 1997     Y. Gallot  (Prime: J. Young 1995)
123280 491 123281 2001     J. Fougeron
125408 5 125413 1997     Y. Gallot  (Prime: J. Young 1995)
127416 371 127419 2001     Jo Y. U. & Gallot
157168 3     157169 1997     Y. Gallot  (Prime: J. Young 1995)
204271 659     204273 2005     S. Harvey, Fougeron & Woltman
274896 41     274897 2004     J. Berg & Gallot
300484 15     300488 2002     P. Samidoost, Jobling, Woltman & Gallot
303092 3     303093 1998     Y. Gallot  (Prime: J. Young)
311032 891     311033 2005     P. Samidoost, Fougeron & Woltman
343189 163     343190 2005     M. G. Neves, Jobling, Woltman & Gallot
361612 75     361614 2004     P. Samidoost, Fougeron & Woltman
362764 3     362765 2002     J. B. Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot
403927 15     403929 2008     A. Wesołowski
(Prime: P. Samidoost, Woltman & Fougeron 2002)
435742 9     435743 2003     T. Nohara, Jobling, Woltman & Gallot
456707 4377 456708 2009     S. Gronow, Reynolds, Penné & Fougeron
462577 3911     462579 2009     J. Foody, Reynolds, Penné & Fougeron
684557 13     684560 2003     P. Grobstich, Jobling, Woltman & Gallot
916772 3     916773 2001     J. B. Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot
1152760 29     1152765 2005     M. Zilmer & Gallot
1276174 15     1276177 2006     C. Cooper, Jobling, Woltman & Gallot
1388354 17     1388355 2005     P. Grobstich, Jobling, Woltman & Gallot
2145352 3     2145353 2003     J. B. Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot
2167799 7     2167800 2007     C. Cooper, Jobling, Woltman & Gallot

Summary of factoring status for numbers  Fm(10)

Prime   m = 0, 1
Completely factored m = 2, 3 (two factors each), 4 (5 factors), 5 (4 factors),
       6 (3 factors), 7 (4 factors), 8 (5 factors)
Three prime factors known m = 9*, 10*, 11*, 12*, 19
Two prime factors known m = 15*, 29, 39, 40, 54, 58, 99, 102, 143, 181, 241,
       724, 1628
Only one prime factor known m = 16*, 17*, 18*, 20, 22, 26, 27, 28, 30, 35, 37, 41,
       and 198 values of  m  with  41 < m < 2145352
Composite but no factor known   m = 13, 14, 21LS, 23SB
Character unknown   m = 24, 25, 31, 32, 33, 34, 36, 38, 42, . . .
* Cofactor composite   LS L. Soule, August 2006;  SB S. Batalov, August 2008

276 prime factors known
239 numbers  Fm(10)  known to be composite

Count of factors according to difference  n - m

n - m   = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Frequency 149,   63,   37,   11,   10,   3,   3


Full names of researchers
with specification of contributions to bases  b = 3, 5, 6, 10, 12

Names given without initials in the discoverer column above refer to an indirect involvement of programmers
whose software was essential for the discovery of the particular prime factor: Fougeron (FermFact, PFGW),
Gallot (Proth), Jobling (NewPGen), Penné (LLR), Reynolds (Srsieve), Woltman (PRP).

Please send new factors to Wilfrid Keller.

Last modified: August 3, 2009.